普遍性

ウィクショナリー この項目では、圏論を中心とした数学におけるuniversalityについて記述しています。「普遍性」の語義については、ウィクショナリー 22の「普遍」の項目を、「universal」の語義については、ウィクショナリーの「universal」の項目をご覧ください。

数学において普遍性英語: universality、または universal property)とは、ある特定の状況下において一意に射(あるいは準同型、構造を保つ写像)を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成(例えば直積や直和加群のテンソル積距離空間完備化など)を特徴づけるようなものをいう。

普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象(英語版)、核や余核順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し(英語: pushoutストーン-チェックのコンパクト化などが存在する。

このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエル (en:Pierre Samuelの論文[1]によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる[2]

概要

U : DC を 圏 D から圏 C への関手とし、XC の対象とする。X から U への普遍射 (universal morphism) は、D の対象 ACの射 φ : XU(A) からなる対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性(universal property)を満たす。

  • YDの対象で f : XU(Y) が C の射であるような場合、常に D の射 g : AY が一意に存在して、次の図を可換にする。
XからUへの普遍射

g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ[3]

H o m D ( A , Y ) H o m C ( X , U ( Y ) ) {\displaystyle Hom_{D}(A,Y)\cong Hom_{C}(X,U(Y))}

また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。U から X への普遍射は、Dの対象ACの射 φ : U(A) → X の対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性を満たす。

  • YDの対象で f : U(Y) → XCの射であるような場合、常に D の射g : YA が一意に存在して、次の図を可換にする。
UからXへの普遍射

ここで、人によっては一方を普遍射と呼び、もう一方を余普遍射(co-universal property)と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。

表現可能関手による定義

エミリー・リール(Emily Riehl)は『Category Theory in Context』において、圏 C の対象 c に対する普遍性(: universal property)を次のように定義している[4]

定義
C の対象 c普遍性は、表現可能関手 F: CSet と、米田の補題を通して自然同型 C(c, _) ≅ F(または C(_, c) ≅ F)を定める普遍要素: universal elementxFc によって表現されるものである。
(ここで Set とは集合の圏のことである。)

定義を言い換えると、cC の普遍性とは、(表現可能)関手 F: CSetxFc を用いて米田の補題から定まる自然変換 C(c, _) → F が自然同型であるという性質のことである。

C が小さなhom集合を持つ(各対象 x, y について C(x, y) ∊ Set である)とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である[5]

ベクトル空間のテンソル積

K 上のベクトル空間 V, W について、任意の双線形写像 f: V × WX に対して f = f'◦g を満たす準同型 f': TX がただ1つ存在するような K-ベクトル空間 T と双線形写像 g: V × WT の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの TVW と表し、VWテンソル積と呼ぶ。

テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる:いま、V × W からの双線形写像の集合を与える対応は関手 Bilin(V, W; _): VectKSetVectK とは K-ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏)を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型 VectK(VW, _) ≅ Bilin(V, W; _) が定まり、従って Bilin(V, W; _) は表現可能関手である。双線形写像 g: V × WVW はこのとき、同型 VectK(VW, VW) ≅ Bilin(V, W; VW) によって恒等射が写る先として定まる[6]

また、カノニカルな双線形写像 g: V × WVW は一点集合からの写像 ψ:*→ Bilin(V, W; VW) によっても表される。いま、任意の XVectKh:*→ Bilin(V, W; X) に対して、テンソル積の性質から h = h'ψ が成り立つような準同型 h': VWX がただ1つ定まる。従って h は一点集合から Bilin(V, W; _) への普遍射である。

剰余群への射影

G正規部分群 K について、剰余群 G/K への射影を φ: GG/K で表す。群準同型 f: GH について、Kf の核 Ker f (f(x)H の単位元となる G の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって f = hφ を満たす群準同型 h: G/KH がただ1つ存在することがわかる。

FundHomDiag.png

(小さな) 群とその間の群準同型からなる群の圏Grp で表す。群 H に対して、群準同型 f: GH であって Ker fK を満たすものの集合を FH とおくと、この対応は関手 F: GrpSet をなす。準同型定理の主張から、任意の H に対して同型 FHGrp(G/K, H) が存在して、さらに唯一性からこの同型は H について自然であることがわかる。

以上のことから、剰余群 G/K と剰余群への射影 φ: GG/K は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合(剰余群の通常の構成で使われる G/K の各要素)に言及しなくてよくなる[7]

ファン・カンペンの定理

位相空間 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} は、2つの開部分集合 U , V O X {\textstyle U,V\in {\mathcal {O}}_{X}} によって覆われるものとする。すなわち、 X = U V {\textstyle X=U\cup V} が成り立つとする。このとき、共通部分 U V {\textstyle U\cap V} からの包含写像 U V i U j X {\displaystyle U\cap V\xrightarrow {i} U\xrightarrow {j'} X} U V j V i X {\displaystyle U\cap V\xrightarrow {j} V\xrightarrow {i'} X} による可換図式は、位相空間の圏 Top において普遍性を持つ。すなわち、連続写像 f: UYg: VYfi = gj を満たすとき、f = hj'g = hj' を満たすような連続写像 h: XY がただ1つ存在する。

よい条件( U V {\textstyle U\cap V} でなく弧状連結)の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つ[8]。これを (基本群に関する)ファン・カンペンの定理と呼ぶ。

VanKampen-01.png

さまざまな普遍性

随伴関手との関係

(A1, φ1) を X1 から U への普遍射、 (A2, φ2) を X2 から U への普遍射とする。普遍性から、任意の射 h : X1X2 に対して一意な射 g : A1A2 が存在して、次の図式を可換にする。

UniversalProperty-05.png

もし 全ての C の対象 XiU への普遍射が認められるならば、Xi {\displaystyle \mapsto } Ai 及び h {\displaystyle \mapsto } g によってC から D への関手 Vが定義される。 これに伴って、φi は 1CC の恒等関手) から U V への自然変換を定義する。関手 (V, U) は随伴関手の対となる。(VU の左随伴、及び UV の右随伴)

同様の言明は U からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての C における X について、関手 V : CD が得られ、これは U への右随伴になっている。(つまり UV の左随伴である。)

実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。FG を単位(unit)η と余単位(co-unit)ε (定義は随伴関手の記事を参考のこと)によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 CD への普遍射が得られる。

  • C の各対象 X に対し、 (F(X), ηX) は X から G への普遍射である。つまり、任意の f : XG(Y) に対して一意な g : F(X) → Y が存在して以下の図式を可換にする。
  • D の各対象 Y に対し、 (G(Y), εY) は F から Y への普遍射である。つまり、任意の g : F(X) → Y に対して一意な f : XG(Y) が存在して以下の図式を可換にする。
AdjointFunctors-02.png

普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が C 中の全ての対象 (同様に、D の全ての対象)について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。

脚注

  1. ^ Samuel, P. (1948). “On universal mappings and free topological groups” (英語). Bulletin of the American Mathematical Society 54 (6): 591–598. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09052-8. ISSN 0002-9904. https://www.ams.org/bull/1948-54-06/S0002-9904-1948-09052-8/. 
  2. ^ Mac Lane 1998, p. 78
  3. ^ MacLane(1998) p.59
  4. ^ Riehl 2004, p. 62, Definition 2.3.3.
  5. ^ Mac Lane 1998, pp. 76–77. ただし『圏論の基礎』では「普遍要素」の定義はリールのものと異なっており、リールが「普遍要素」と呼んだものは (集合値)関手の表現(representation of a functor)として定義されているものと同値の概念である。
  6. ^ Riehl 2016, Example 2.3.7.
  7. ^ Mac Lane (1998, p. 57). 原文:once the cosets are used to prove this one “universal” property of p : GG/N, all other properties of quotient groups — for example, the isomorphism theorems — can be proved with no further mention of cosets (see Mac Lane-Birkhoff [1967]).
  8. ^ Leinster 2014, pp. 6–7, Example 0.9.

参考文献

  • Paul M. Cohen (1981). Universal Algebra. D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1 
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 
  • Lainster, Tom (2014) (英語). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. arXiv:1612.09375. doi:10.1017/CBO9781107360068. ISBN 9781107044241 
  • Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Aurora: Modern Math Originals. Dover Publications. ASIN B06XHZ82GF. ISBN 9780486809038. https://emilyriehl.github.io/files/context.pdf 
主要項目
関手
定理
拡張
関連分野
人物
関連項目